Question

已知，如图，过点A、O的圆与y轴相交于一点C，与AB相交于一点E，直线AB的解析式为y=kx+4k，过点A、O的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）若点C的坐标为（0，

4

3

3

），AC平分∠BAO，求点B的坐标；
（2）若AC=

2

OE，且点P在AB上，是否存在实数m，对于抛物线y=ax²+bx+c上任意一点M（x，y），都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为直线AB的解析式为y=kx+4k，设y=0可得直线和x轴交点的坐标，利用锐角三角函数和已知条件可求出角BAO的度数，再解直角三角形ABO即可求出OB的长，进而求出B的坐标；
（2）利用有两对角相等的三角形相似可先证明△ACB∽△OEB，利用已知条件求出角BA0的度数，进一步得到三角形AOB是等腰直角三角形，进而得到直线的解析式，又因为抛物线的顶点坐标在P在直线上，可求出a的值，设任意一点M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，由抛物线的解析式和已知等式即可求出m的值．

解答：解：（1）∵点C的坐标为（0，

4

3

3

），
∴OC=

4 3

3

，
∵直线AB的解析式为y=kx+4k，设y=0，
∴x=-4，
∴A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
∵tan∠CAO=

OC

AO

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠BAO=60°，
∴BO=AO•tan60°=4×

3

=4

3

，
∴B（0，4

3

）；
（2）∵∠B=∠B，∠BAC=∠BOE，
∴△ACB∽△OEB，
∴

AC

EO

=

AB

BO

，
∵AC=

2

OE，
∴

BO

AB

=

2

2

，
∵sin∠BAO=

BO

AB

=

2

2

，
∴∠BAO=45°，
∴AO=BO=4，
∴B坐标为（4，0）
把B坐标为（4，0）代入y=kx+4k得：k=1，
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A、O，
∴可设y=a（x-0）（x+4）=a（x²+4x+4）-4a=a（x+2）²-4a，
∴顶点P的坐标为（-2，-4a），
∵顶点P在直线上，
∴-2+4=-4a，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+2）²+2，
设任意一点M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，
则（x+2）²=（y-2-m）²-（y-2+m）²成立，
∴（x+2）2=2（y-2）（-2m）
又∵y=-

1

2

（x+2）²+2，
∴（x+2）2=4-2y，
∴4-2y=-4my+8m，
∴4=8m，-2y=-4my，
∴m=

1

2

，
即存在m=

1

2

，对于抛物线y=-

1

2

（x+2）²+2上任意一点，都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立．

点评：本题考查了一次函数和x轴交的问题、求二次函数得解析式、特殊角的三角函数、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质以及存在性问题，题目的综合性很强，对学生灵活运用知识的能力要求很高．