Question

已知：如图，过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+4于B、A两点，若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），则a的取值范围是

-

1

2

≤a≤-

1

9

．

Answer 1

分析：由过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+4于B、A两点，即可求得点A与B的坐标，继而求得点D的坐标，又由二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），可得a＜0，然后由|a|越大，开口越小，可得当顶点在顶点在AC上时，a最小，当顶点在顶点在BD上时，a最大，继而求得答案．

解答：解：∵过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+4于B、A两点，
∴点A（2，2），点B（3，1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴D（3，2），
∵二次函数顶点y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且在矩形ADBC内（包括三边上），
∴a＜0，
∵|a|越大，开口越小，
即a越小，开口越小，
∴当顶点在顶点在AC上时，a最小，
设此时顶点坐标为（2，m），且1≤m≤2，
则二次函数的解析式为：y=a（x-2）²+m，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，
∴a（0-2）²+m=0，
解得：a=-

m

4

，
∴当m=2时，a最小，a=-

1

2

；
∴当顶点在顶点在BD上时，a最大，
设此时顶点坐标为（3，n），且1≤n≤2，
则二次函数的解析式为：y=a（x-3）²+n，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，
∴a（0-3）²+n=0，
解得：a=-

n

9

，
∴当m=1时，a最大，a=-

1

9

；
∴a的取值范围是：-

1

2

≤a≤-

1

9

．
故答案为：-

1

2

≤a≤-

1

9

．

点评：此题考查了二次函数的性质、二次函数的解析式一般式与顶点式以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．