题目内容

（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；
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②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．
分析：（1）①求线段CQ的长，根据已知条件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出；
②要求y与x之间的函数关系式，函数的定义域，因为BP在线段CB上，或在CB的延长线上，根据实际情况证明△QCP∽△ABP，求出比例关系式得出
（2）要求线段BP的长，先证明△BAP∽△CPQ得出比例式，再利用图形间的“和差“关系求解．
解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，
∴∠BAP=∠CQP．（1分）
又∵AB=AC，∴∠B=∠C．（1分）
∴△CPQ∽△BAP．（1分）
∴
CQ
BP
=
CP
AB
．（1分）
∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，（1分）
∴
CQ
6
=
2
5
，CQ=
12
5
．（1分）

②若点P在线段CB上，由（1）知
CQ
BP
=
CP
AB
，
∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，
又∵CQ=y，AB=5，∴
y
x
=
8-x
5
，即y=-
1
5
x2+
8
5
x．
故所求的函数关系式为y=-
1
5
x2+
8
5
x，（0＜x＜8）．（2分）
若点P在线段CB的延长线上，如图．
∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，
∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，
∴∠CPQ=∠PAB．
又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，精英家教网
∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴
BP
CQ
=
AB
PC
．（1分）
∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，
∴
x
y
=
5
8+x
，即y=
1
5
x2+
8
5
x（x≥8）．（1分）
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（2）①当点P在线段BC上，
∵∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠QPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
即5：（5-BP）=BP：1，
解得：BP=
5+
5
2
，或BP=
5-
5
2
，（2分）
②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP-5）=BP：1，
解得：BP=
5+3
5
2
，（1分）
③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP+5）=BP：1，
解得：BP=
-5+3
5
2
．（1分）
点评：本题结合三角形，正方形的性质考查二次函数的综合应用，根据相似三角形的性质，利用图形间的“和差“关系求解．
练习册系列答案
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23、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
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（1）如图1．连接BE、CD，BE与CD交于点O，
①证明：DC=BE；
②∠BOC=
 
°． （直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交AB于点F．DF与EF相等吗？证明你的结论．
18、如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E、已知△ABC中与△ABD的周长分别为18cm和12cm，则线段AE的长等于
3
cm．
在△ABC中，∠C=90°，BC=12，AB=13，则tanA的值是（　　）
A、
5
12
B、
12
5
C、
12
13
D、
5
13
在△ABC中，a=
2
，b=
6
，c=2
2
，则最大边上的中线长为（　　）
A、
2
B、
3
C、2
D、以上都不对

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