Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．

（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；

（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6或7

【解析】

（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF的长，利用等腰直角三角形的性质求出DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；

（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；

（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC=DE时，证明∠AEC=90°，得到AE=CE，再根据等腰三角形三线合一得到DE⊥AC，从而得到F与C重合，进而得出BF的长；当ED=EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．

（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，．

∵DF∥AB，，

∴∠AED=∠EDF=90°，，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴．

在Rt△DEF中，；

（2）过点E作EH⊥AC于点H．

∵BC⊥AC，

∴EH∥BC，

∴∠AEH=∠B．

∵∠B=∠A，

∴∠AEH=∠A，，

∴．

∵∠EDF=90°，

∴∠EDH+∠CDF=90°．

∵∠C=90°，

∴∠CDF+∠CFD=90°，

∴∠EDH=∠CFD．

∵∠EHD=∠C=90°，

∴△HDE∽△CFD，

∴，

∴，

∴；

（3）∵，CD=3，

∴CE＞CD，

∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．

①当DC=DE时，(如图①)

∵DC=DE，

∴∠DCE=∠DEC．

∵AD=CD，DE=DC，

∴AD=DE，

∴∠A=∠AED．

∵∠A+∠AED+∠DEC+∠DCE=180°，

∴∠AED+∠DEC=90°，

∴∠AEC=90°，

∴CE⊥AB．

∵AC=BC，

∴AE=AB=，

∵∠A=45°，∠AEC=90°，

∴AE=CE．

∵AD=CD，

∴DE⊥AC，

∴此时F与C重合，

∴BF=6；

②当ED=EC时，点F在BC的延长线上，

过点E作EM⊥CD于点M，(如图②)

∵ED=EC，EM⊥CD，

∴DM=CD=．

∵EM⊥CD，

∴△DME是直角三角形．

∵DE⊥DF，

∴∠EDM+∠FDC=90°．

∵∠FDC+∠F=90°，

∴∠F=∠EDM，

∴△DFC∽△EDM，

∴，

∴，

∴CF=1，

∴BF=7，

综上所述：BF为6或7．