Question

15．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，若AD=1，BD=3．求CD的长．

Answer 1

分析 由于△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，于是∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，根据等式性质可得∠ACE=∠BCD，利用SAS可证△ACE≌△BCD，于是∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12，易求∠EAD=90°，再利用勾股定理可求DE，进而得到CD的长．

解答 解：连接AE．
∵AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，
即∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠B=45°，AE=BD=3，
∴∠EAD=∠EAC+∠B=90°，
在Rt△EAD中，DE²=AE²+AD²=3²+1²=10，
∴DE=$\sqrt{10}$，
∴Rt△DCE中，CD=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是先证明△ACE≌△BCD，从而求出AE以及∠EAD=90°．