Question

如图，在平面直角坐标系中，A（2，3），B（3，-3）．
（1）利用尺规作图，在y轴上求作一个点P，使PA+PB最小（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求出点P的坐标；
（3）连接AP、BP、AB，求△ABP的面积．

Answer 1

分析：（1）设点A关于y轴的对称点为A′，当点P在A′B上时，PA+PB最小；
（2）如果设直线A'B的解析式为y=kx+b，首先求出点A′的坐标，然后利用待定系数法求出直线A'B的解析式，再令x=0，求出对应的y值，进而得出点P的坐标；
（3）如果过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，那么△ABP的面积=梯形ABNM的面积-（△APM的面积+△BPN的面积），从而得出结果．

解答：解：（1）如图：

（2）设A关于y轴对称点为A'，设直线A'B的解析式为y=kx+b，
把A'（-2，3），B（3，-3）代入，
得

-2k+b=3 3k+b=-3

，
解之得

k=- 6 5 b= 3 5

，
∴y=-

6

5

x+

3

5

．
令x=0，得y=

3

5

，
∴P（0，

3

5

）．

（3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．
∴△ABP的面积=梯形ABNM的面积-（△APM的面积+△BPN的面积）
=

1

2

×(2+3)×6-[

1

2

×(3-

3

5

)×2+

1

2

(

3

5

+3)×3]
=

36

5

=7.2．

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题及在平面直角坐标系中如何求三角形的面积．