Question

1．（一）实践与操作
第一步：取一张正方形纸片ABCD，按图1对折，得折痕EF，摊开展平；
第二步：将B点折到EF上B′，如图2．

（二）解决问题
（1）如图3，连接BB′，试判定△ABB′的形状，并证明你的结论；
（2）如图4，连接AC，交BB′于P，作PQ⊥AB于Q，若AB=2，求PQ．

Answer 1

分析 （1）首先根据折叠的性质，推得AB'=AB；然后根据EF是AB的垂直平分线，B'是EF上的一点，推得AB'=BB'，据此可得AB'=BB'=AB，所以△ABB'是等边三角形，据此判断即可．
（2）首先根据四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，PQ⊥AB，推得△APQ是等腰直角三角形；然后根据△ABB'是等边三角形，可得∠ABP=60°；最后设BQ=x，则AQ=PQ=$\sqrt{3}x$，根据AQ+BQ=AB，求出x的值是多少，进而求出PQ的值是多少即可．

解答 （1）证明：由折叠的性质，可得AB'、AB关于AM对称，
∴AB'=AB，
∵EF是AB的垂直平分线，B'是EF上的一点，
∴AB'=BB'，
∴AB'=BB'=AB，
∴△ABB'是等边三角形．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，PQ⊥AB，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∵△ABB'是等边三角形，
∴∠ABP=60°，
设BQ=x，
则AQ=PQ=$\sqrt{3}x$，
∵AQ+BQ=AB，
∴$\sqrt{3}x+x=2$，
∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}-1$，
∴PQ=$\sqrt{3}（\sqrt{3}-1）=3-\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．