Question

如图：△ABD是等边三角形，以BD为边向外作等边三角形△DBC，点E，F分别在AB，AD上且AE=DF．连接BF于DE相交于点G，连接CG，证明下列结论：
①△AED≌△DFB；
②CG=DG+BG．

Answer 1

分析：①根据等边三角形的三条边都相等，三个内角都为60°的性质，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论．
②延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．构建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性质来证明CG=DG+BG．

解答：证明：①∵△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ABD=60°，
在△AED与△DFB中，
∵

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

②延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵

CD=CB ∠CDG=∠CBM DG=BM

，
∴△CDG≌△CBM，
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．本题充分利用了等边三角形的三条边相等和三个内角都是60°的性质．