Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求sin∠EBC．

Answer 1

分析：（1）先根据△ABC是等边三角形及CE是∠ACF的平分线可得出∠ACE=∠A=60°，再根据∠ADB=∠EDC，即可得出△ABD∽△CED；
（2）作DH⊥BC于点H，由直角三角形的性质得出∠HDC=30°，由AB=AC=6，AD=2CD可得出CD=2，AD=4，由直角三角形的性质可求出DH、HC的长，进而得出BH的长，由勾股定理求出BD的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∵CE是∠ACF的平分线
∴∠ACE=∠A=60°，
又∵∠ADB=∠EDC
∴△ABD∽△CED；

（2）解：作DH⊥BC于点H，
∵∠ACB=60°，
∴∠HDC=30°
∵AC=6，AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，
∵∠HDC=30°，
∴HC=

1

2

DC=1，DH=

3

，BH=6-1=5，
∴BD=

25+3

=2

7

，
∴sin∠EBC=

DH

BD

=

3

2 7

=

21

14

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．