题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y= $数学公式$ 与x轴、y轴的交点分别为A、B，过点0作OD⊥AB，垂足为D．

（1）求直线OD的解析式；
（2）点P从点A出发，沿射线AB以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点Q．设线段0Q的长为d（d＞0），点P的运动时间为t（秒），求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OP，是否存在t的值，使OP²=BP•AP？若存在，求出t的值，同时通过计算推理判断，此时以 $数学公式$ 为半径的⊙D与直线OP的位置关系；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点D作DC⊥OA于C，
∵直线y=- $\text{[math]}$ x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB= $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ，
∴sin∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，cos∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵OD⊥AB，
∴OD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD•sin∠ODC=2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2，CD=OD•cos∠ODC=2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =4，
∴点D的坐标为：（2，4），
设直线OD的解析式为：y=kx（k≠0），
则2k=4，
解得：k=2，
∴直线OD的解析式为：y=2x；

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△QOB，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5 $\text{[math]}$ ，OA=10，OB=5，AP= $\text{[math]}$ t，
∴AQ：10= $\text{[math]}$ t：5 $\text{[math]}$ ，
∴AQ=2t，
当0＜t≤5时，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
当t＞5时，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d与t的函数关系式为：d= $\text{[math]}$ ；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5= $\text{[math]}$ t：5 $\text{[math]}$ ，
解得：PQ=t，
∴OP²=OQ²+PQ²，
∵OP²=BP•AP，
当0＜t≤5时，BP=AB-AP=5 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，OP²=（10-2t）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（5 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）• $\text{[math]}$ t，
即2t²-13t+20=0，
解得：t= $\text{[math]}$ 或t=4；
当t＞5时，BP=AP-AB= $\text{[math]}$ t-5 $\text{[math]}$ ，OP²=（2t-10）²+t²=5t²-40t+100，
∴5t²-40t+100=（ $\text{[math]}$ t-5 $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ t，
即15t=100，
解得：t= $\text{[math]}$ ；
综上，t的值为： $\text{[math]}$ 或4或 $\text{[math]}$ ；
∵AD=OA•cos∠OAB=10× $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，OD=OA•sin∠OAB=10× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，

①如图4，当t= $\text{[math]}$ 时，过点D作DM⊥OP于M，
∵t= $\text{[math]}$ ，
∴AP= $\text{[math]}$ ，
∴DP=AD-AP=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵OP²=5t²-40t+100= $\text{[math]}$ ，
∴OP= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴DM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴此时以 $\text{[math]}$ 为半径的⊙D与直线OP相切；
②如图5，当t=4时，AP=4 $\text{[math]}$ =AD，
即点P与点D重合，
∴此时以 $\text{[math]}$ 为半径的⊙D与直线OP相交；
③如图6，当t= $\text{[math]}$ 时，过点D作DN⊥OP于N，
∵t= $\text{[math]}$ ，
∴AP= $\text{[math]}$ ，
∵OP²=5t²-40t+100= $\text{[math]}$ ，
∴OP= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴DP=AP-AD= $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴此时以 $\text{[math]}$ 为半径的⊙D与直线OP相离．
分析：（1）过点D作DC⊥OA于C，由直线y=- $\text{[math]}$ x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，可求得A（10，0），B（0，5），又由OD⊥AB，利用直角三角形的面积公式，即可求得OD的长，利用三角函数的知识即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线OD的解析式；
（2）易得△APQ∽△QOB，然后根据相似三角形的对应边成比例，易求得AQ的值，然后分别从0＜t≤5与t＞5去分析求解，即可求得d与t的函数关系式；
（3）由OP²=OQ²+PQ²与OP²=BP•AP，分别从0＜t≤5与t＞5去求解，即可求得k的值；然后分别求k取不同值时，以 $\text{[math]}$ 为半径的⊙D与直线OP的位置关系．
点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及圆与直线的位置关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合与方程思想的应用．