Question

【题目】如图1，已知中，，，，为斜边上一个动点，作，交直角边于点，以为直径作，交于点，连接，交于点.连结，设.

（1）用含的代数式表示的长；

（2）求证：；

（3）如图2，当与边相切时，求的直径；

（4）若以为顶点的三角形是等腰三角形时，求所有满足条件的的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）利用,即可得出结论；

（2）利用同弧所对的圆周角相等得出，利用同角的余角相等得出，从而得出结论；

（3）作，，则，，利用得出，进而得出直径；

（4）分、、三种情况讨论即可．

（1）解：在中，由勾股定理得：，

∵，∴,

在和中

∵，

∴，

∴，即

解得：，

∴，，

（2）证明：∵

∴.

又∵.

∴.

解：（3）作，，垂足分别为，

∵与相切，∴，

∵，

∴，

∴ ∴

∴的直径为；

（4）若以为顶点的三角形是等腰三角形，则可分为三种情况：

①当时，

∵，∴，∴，即

∵，∴，

在和中，

，

∴

∴，

∴

∴；

②当时，

∵为直径，∴，即，

∵，，

∴,

∴，即，

∴，，

∴，

∵，∴，

∵四边形内接于，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

经检验：是原方程的解，

∴；

③当时，

∵，∴，

∵四边形内接于，

∴，，即

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

综上所述：当或或时，以为顶点的三角形是等腰三角形．