Question

11．如图，AB切⊙O于点A，且交直径EC的延长线于B，∠CAD=∠B，AB=$\frac{15}{4}$，BC=$\frac{5}{4}$，求弦CD的长．

Answer 1

分析 连接AE，CD，根据切割线定理得到AB²=BC•BE，求得BE=$\frac{45}{4}$，CE=BE-BC=10，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=3，设AE=3k，AC=k，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{10}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接AE，CD，
∵AB切⊙O于点A，
∴AB²=BC•BE，
∵AB=$\frac{15}{4}$，BC=$\frac{5}{4}$，
∴BE=$\frac{45}{4}$，
∴CE=BE-BC=10，
∵∠E=∠BAC，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=3，
设AE=3k，AC=k，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EAC=90°，
∴AE²+AC²=CE²，
∴AC=$\sqrt{10}$，
∵∠CAD=∠B，∠D=∠CAB，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{10}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{CD}{\sqrt{10}}$，
∴CD=8．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．