Question

关于x的方程|x²-4x-5|+m=0．求：
（1）m为何值，方程有两个不同的实根．
（2）m为何值，方程有三个不同的实根．

Answer 1

考点：一元二次方程的解,根的判别式

专题：分类讨论

分析：（1）m=0时，|x²-4x-5|=0，方程有两个不同的实根；
（2）分类讨论：当m＜0时，易得x²-4x-5=m或x²-4x-5=-m，根据判别式的意义，当x²-4x-5-m=0有两个相等的实数解，得到m=-9，此时x²-4x+m-5=0有两个不相等的实数解，原方程有三个不同的实根；
当x²-4x-5+m=0有两个相等的实数解，得到得m=9，此时x²-4x-5-m=0有两个不相等的实数解，原方程有三个不同的实根．

解答：解：（1）|x²-4x-5|=-m，
当m=0时，|x²-4x-5|=0，即x²-4x-5=0，解得x₁=5，x₂=-1；
（2）|x²-4x-5|=-m，
当m＜0时，x²-4x-5=m或x²-4x-5=-m，
即x²-4x-5-m=0或x²-4x-5+m=0，
当x²-4x-5-m=0有两个相等的实数解，即△=16+4（5+m）=0，解得m=-9，此时x²-4x+m-5=0有两个不相等的实数解；
当x²-4x-5+m=0有两个相等的实数解，即△=16+4（5-m）=0，解得m=9，此时x²-4x-5-m=0有两个不相等的实数解；
所以m为9或-9时，方程有三个不同的实根．

点评：本题考查了元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．