Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝ ．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝ ，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：    一次函数综合题。

分析：    (1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；

(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可 ．

解答：    解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝ ＝ ，∴点E(0，2 )．

设直线AC的函数解析式为y＝kx＋ ，有 ，解得：k＝ ．

∴直线AC的函数解析式为y＝ ．

(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝ ＝ ，

设EG＝3t，OG＝5t，OE＝ ＝ t，∴ ，得t＝2，

故EG＝6，OG＝10，

∴S△OEG＝ ．

(3)存在．

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时，

y＝－ ＝ ，

∴点P1(10， )．

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH＝a，

则BH＝QH＝14－a，

在Rt△OQH中，a2＋(14－a)2＝100，

解得：a1＝6，a2＝8，

∴Q(－6，8)或Q(－8，6)．

连接QF交OP2于点M．

当Q(－6，8)时，则点M(2，4)．

当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．

设直线OP2的解析式为y＝kx，则

2k＝4，k＝2．

∴y＝2x．

解方程组 ，得 ．

∴P2( )；

当Q(－8，6)时，则点M(1，3)．

同理可求P2′( )．

综上所述，满足条件的P点坐标为(10， )或( )或( )．

点评：    此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．