Question

【题目】如图，已知线段，是线段上任意一点（不与点、重合），分别以、为边，在的同侧作等边和，连接与交于点，连接．

当时，试求的正切值；

若线段是线段和的比例中项，试求这时的值；

记四边形的面积为，当在线段上运动时，与是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．

Answer 1

【答案】；， 与成正比例，比例系数为．

【解析】

(1) 根据等边三角形的性质得出PC=BC,∠CPD=, PD//BC, 进而得出∠DBC的

正切值等于,即可得出答案;

(2) 利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△BCD, 再利用相似三角形的性质得出即可;

(3)由AD//PC,PD//BC,得出

,

进而得出

,以及

即可得出比例系数.

∵等边和，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

由已知，，

即，

又∵，

∴，

∴，

又∵，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即点是线段的黄金分割点．

∴，

又∵，

∴，设，，

∴，，

因为，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

作，

则，，

∴，

∴，

∴与成正比例，比例系数为．