Question

7．△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在AB边上有一个动点P，连接PC，作B关于PC的对称点B₁，则AB₁的最小值是7，当AB₁取到最小值时，CP=$\frac{60}{17}$$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 因为B₁的变化轨迹是以C为圆心，CB为半径的圆上，所以当B₁在AC上时，AB₁最小，作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，首先证明四边形MCNP是正方形，设边长为a，再根据$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$•AC•PN+$\frac{1}{2}$•BC•PM，列出方程求出a，即可解决问题．

解答 解：因为B₁的变化轨迹是以C为圆心，CB为半径的圆上，所以当B₁在AC上时，AB₁最小，此时AB₁=12-5=7，
作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，
∵∠PCA=∠PCB，
∴PM=PN，
∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵∠MCN=∠PMC=∠PNC=90°，
∴四边形MCNP是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形MCNP是正方形，设边长为a，
则有$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$•AC•PN+$\frac{1}{2}$•BC•PM，
∴30=$\frac{1}{2}$×12×a+$\frac{1}{2}$×5×a，
∴a=$\frac{60}{17}$，
∴PC=$\sqrt{2}$CM=$\frac{60}{17}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹，对称变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求有关线段，属于中考常考题型．