Question

已知⊙O半径为R
（1）如图1，过⊙O内一点P作弦AB，连接OP．求证：PA•PB=R²-OP²．
（2）如图2，过⊙O外一点P，作割线PAB，求证：PA•PB=R²-OP²．

Answer 1

考点：切割线定理

专题：证明题

分析：（1）过点P作直径CD，如图1，根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，则PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展开即可得到结论；
（2）直线OP交⊙O于C、D，如图2，根据切割线定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，则PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²，然后利用平方差公式展开即可得到结论．

解答：证明：（1）过点P作直径CD，如图1，
∵PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=R-OP，PD=OD+OP=R+OP，
∴PA•PB=（R-OP）（R+OP）=R²-OP²；


（2）直线OP交⊙O于C、D，如图2，
∵PCD和PAB都为⊙O的割线，
∴PA•PB=PC•PD，
而PC=OC-OP=OP-R，PD=OD+OP=OP+R，
∴PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP²-R²．

点评：本题考查了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 也考查了相交弦定理．