Question

（2013•滨城区一模）（1）已知：如图（1），∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，求证：AB=DC．
（2）如图（2），DE是△ABC的中位线，点F在DE上且∠AFB=90°，AB=5，BC=8，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线性质和已知求出∠ACB=∠DBC，根据ASA推出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质推出即可．
（2）利用三角形中位线定理得到DE=

1

2

BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=

1

2

AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．

解答：（1）证明：如图1，∵AC平分∠BCD，BC平分∠ABC，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠ACB=

1

2

∠DCB，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
在△ABC与△DCB中，

∠ABC=∠DCB  BC=BC  ∠ACB=∠DBC

，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴AB=DC；

（2）解：如图2，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

BC=4．
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，
∴DF=

1

2

AB=2.5，
∴EF=DE-DF=4-2.5=1.5．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线性质的应用，（1）题的关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．