题目内容

如图，在直角三角形ABC中，CB=a，AC=b，AB=c，点P是AC边上的动点，点P以每秒2个单位长度的速度从点A→点C运动，若设点P运动时间为t秒．
（1）求：三角形BPC的面积S（用字母a、b、t表示）；
（2）若a=6，b=8，c=10；
①当t=______时，三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半．（直接写结果）；
②若点P到达C点后，继续从点c→点B→点A运动一周，当点P在AB边上运动时，还存在三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半吗？若存在，求出此时t的值；若存在，请说明理由．

解：（1）根据题意得：S= $\text{[math]}$ a（b-2t）= $\text{[math]}$ ab-at；
（2）①当t=2时，三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半；
②点P在AB边上运动时，还存在三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半，此时点P运动到AB的中点，
理由：当三角形BPC的面积再次等于三角形ABC面积的一半时，即三角形BPC的面积等于三角形APC的面积．
又∵三角形BPC与三角形APC具有过C点的公共高，
∴两个三角形的底边：AP=BP，
∵AB=10，
∴AP=BP= $\text{[math]}$ AB=5，即2t=8+6+5，
解得：t=9.5，
∴点P在AB边上运动时，还存在三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半，此时，点P运动的时间为9.5秒．
分析：（1）利用字母a，b，t表示出S即可；
（2）①根据三角形BCP面积等于三角形ABC面积的一半，求出t的值即可；
②点P在AB边上运动时，还存在三角形BPC的面积等于三角形ABC面积的一半，此时点P运动到AB的中点，理由：当三角形BPC的面积再次等于三角形ABC面积的一半时，即三角形BPC的面积等于三角形APC的面积，根据三角形BPC面积等于三角形APC面积，且两三角形有公共高，得到AP=BP，根据AB的长，求出AP=BP=5，列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值即可．
点评：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．