Question

（本小题满分12分） 如图① 已知抛物线（≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N ，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.

 

Answer 1

（1） ； （2）存在， P（-1，），P（-1，- ），P（-1，-6），P（-1，-）；（3），E(，)．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线（a≠0）点A（1，0）和点B （﹣3，0），由待定系数法就可以直接求出a、b的值而求出抛物线的解析式；

（2）由（1）的解析式就可以求出C点的坐标，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP1=NP1时，作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P1N的值，从而求出P1的坐标；

（3）设出点E的坐标，连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四边形BOCE的面积，然后化为顶点式就可以求出其面积的最大值．

试题解析：（1）如图①，

∵（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （﹣3，0），

∴，解得：，∴；

（2）∵，∴，∴N（﹣1，0），∴ON=1．

∴当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3．

在Rt△CON中，由勾股定理，得：CN=，

当P1N=P1C时，△P1NC是等腰三角形，作P1H⊥CN，

∴NH=，△P1HN∽△NOC，∴，∴，∴NP1=，∴P1（﹣1，），

当P4N=CN时，P4N=，∴P4（﹣1，），

当P2N=CN时，P2N=，∴P2（﹣1，﹣），

当P3C=CN时，P3N=6，∴P3（﹣1，﹣6）

∴P点的坐标为：（﹣1，）、（﹣1，﹣）、（﹣1，﹣6）和（﹣1，）；

（3）设E（， ），连接BE、CE，作EG⊥OB于点G，

∴GO=﹣x，BG=x+3，GE=，

∴S=，

∴x=，S最大值=，

当x=时，，

∴E(，)．

考点：1．二次函数综合题；2．等腰三角形的性质．