Question

如图，抛物线F：y=ax²+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=1，b=-2，c=3时，①写出点D的坐标

（1，0）

； ②求b：b′的值；
（2）若a、b、c满足b²=ac，探究b：b′的值是否为定值？若是定值请求出这个定值；若不是请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①已知PD⊥x轴，那么点P、D必在抛物线F的对称轴上，那么点D的坐标可直接写成（-

b

2a

，0）；
②两个抛物线的开口方向和开口大小都相同，那么a=a′；它们与y轴交于同一点，那么c=c′；将D的坐标代入抛物线F′的解析式中，先求出b′，再求b：b′的值．
（2）思路同②，先确定a=a′、c=c′，然后代入D点坐标，将所得式子进行适当变形，即可得到b：b′的值．

解答：解：（1）①∵P点是抛物线F的顶点，且PD⊥x轴，
∴D（-

b

2a

，0），即 D（1，0）．
②∵抛物线F和抛物线F′的开口方向、开口大小相同，与y轴的交点相同，
∴a=a′=1，c=c′=3；
已知抛物线F′：y=x²+b′x+3经过D（1，0），得：
1+b′+3=0，即 b′=-4
∴b：b′=（-2）：（-4）=1：2；
故答案：①（1，0）；②1：2．

（2）由（1）②知：a=a′、c=c′；
∴抛物线F′：y=ax²+b′x+c，代入点D（-

b

2a

，0），得：
a（-

b

2a

）²+b′（-

b

2a

）+c=0，
化简，得：

b2+4ac

4a

=

bb′

2a

左右两边都除以2ab²，得：

b2+4ac

2b2

=

b′

b

代入b²=ac，得：

b

b′

=

2

5

．

点评：该题主要考查的是函数图象的平移问题，弄清楚抛物线在平移过程中，各系数的变化情况是解答此类问题的关键所在．