Question

已知一次函数y=-

3

3

x+b与反比例函数y=

k

x

在第一象限内交于B、C两点，与y轴交于A点，且AB•AC=4，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，设B、C的横坐标分别为m、n，先确定A点坐标（0，b），D点坐标（

3

b，0），利用勾股定理计算出AD=2b，再利用三角形相似得到AB=

2 3

3

m，AC=

2 3

3

n，则mn=3，然后根据反比例函数与一次函数的交点问题得到m、n为方程-

3

3

x+b=

k

x

的两实数解，根据根与系数的关系得到mn=3，则可利用

3

k=3求k．

解答：解：作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
把x=0代入y=-

3

3

x+b得y=b，
把y=0代入y=-

3

3

x+b得数-

3

3

x+b=0，解得x=

3

b，
∴A点坐标为（0，b），D点坐标为（

3

b，0），
∴AD=

OA2+OD2

=2b，
设B、C的横坐标分别为m、n，
∵BE∥OD，
∴△ABE∽△ADO，
∴

AB

AD

=

BE

OD

，
∴AB=

2b•m

3 b

=

2 3

3

m，
同理可得AC=

2 3

3

n，
∴AB•AC=

2 3

3

m•

2 3

3

n=4，
∴mn=3，
∵次函数y=-

3

3

x+b与反比例函数y=

k

x

在第一象限内交于B、C两点，
∴m、n为方程-

3

3

x+b=

k

x

的两实数解，
方程整理得x²-

3

bx+

3

k=0，
∴

3

k=3
∴k=

3

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形相似的判定与性质和根与系数的关系．