Question

8．已知AB为⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，AD交⊙O于E点，$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$．

（1）如图1，求证：AD⊥DC．
（2）如图2，连接BD，若CD=12，AD=16，求tan∠ADB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图1，利用$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$得到∠1=∠2，再证明OC∥AD，然后根据切线的性质得到OC⊥AD，于是可判断AD⊥DC；
（2）接BE、OC，它们相交于点H，如图2，利用垂径定理的推论，由$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$得到OC⊥BE，EH=BH，再证明四边形CDEH为矩形得到EH=CD=12，DE=CH，设DE=x，⊙O的半径为r，则AE=AD-DE=16-x，OH=r-x，根据三角形中位线性质的∴6-x=2（r-x），r=$\frac{1}{2}$（16+x），则AB=16+x，接着利用勾股定理得到（16-x）²+24²=（16+x）²，解得x=9，然后根据正切的定义求解．

解答 （1）证明：连接OC，如图1，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AD，
∴AD⊥DC；

（2）解：连接BE、OC，它们相交于点H，如图2，
∵$\widehat{EC}$=$\widehat{CB}$，
∴OC⊥BE，EH=BH，
∵OC⊥AD，AD⊥DC，
∴四边形CDEH为矩形，
∴EH=CD=12，DE=CH，
∴BE=2EH=24，
设DE=x，⊙O的半径为r，则AE=AD-DE=16-x，OH=r-x，
而AE=2OH，
∴16-x=2（r-x），
∴r=$\frac{1}{2}$（16+x），
∴AB=16+x，
在Rt△ABE中，（16-x）²+24²=（16+x）²，解得x=9，
∴tanEDB=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{24}{9}$=$\frac{8}{3}$，
即tan∠ADB的值为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．