题目内容

已知m、n是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，那么m2+n2的最小值是    ．
【答案】分析：利用根与系数的关系可知：m+n=-2a，mn=a2+4a-2，则m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2（a2+4a-2）=2a2-8a+4=2（a-2）2-4，此题还需考虑有实数根时a的取值范围，所以利用根的判别式求出a的取值范围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可．
解答：解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，
∴
又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，
根据二次函数的性质，a＜2时，函数值随a的增大而减小，
∴当时，m2+n2的值最小，
此时，即最小值为．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时a的取值范围，这是本题最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．
练习册系列答案
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已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足x1+x2=m2，则m的值是（　　）
A、-1B、3C、3或-1D、-3或1
已知a、b是关于x的方程x2-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是
 
．
已知a、b是关于x的一元二次方程kx2+2（k-3）x+k+3=0的两个实数根，其中k为非负整数，点A（a，b）是一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y=
nx
的图象的交点，且m、n为常数．
（1）求k的值；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2013•南通一模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根，则
x
2
1
+
x
2
2
-x1x2=
7
7
．
阅读下列材料，并解答问题：
在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，如果b2-4ac≥0时，那
么它的两个根是x1=
-b+
b2-4ac
2a
，x2=
-b-
b2-4ac
2a
所以x1+x2=
(-b+
b2-4ac
)+(-b-
b2-4ac
)
2a
=
-2b
2a
=-
b
a
x1x2=
(-b+
b2-4ac
)•(-b-
b2-4ac
)
2a•2a
=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a
．
由此可见，一元二次方程的两根的和、两根的积是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．运用上述关系解答下列问题：
（1）已知一元二次方程2x2-6x-1=0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2=
3
3
，x1x2=
-
1
2
-
1
2
，
1
x1
+
1
x2
=
-6
-6
．
（2）已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根，且
x
2
1
+
x
2
2
=7，求a的值．

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