Question

【题目】已知，在中，为射线上一点，连接交于点.

（1）如图1，若点与点重合，且，求的长；

（2）如图2，当点在边上时，过点作于，延长交于，连接.求证：．

（3）如图3，当点在射线上运动时，过点作于为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为．

【解析】

（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得，利用平行四边形的性质可得为中点，在中，由勾股定理可求得，则可求得，在中，再利用勾股定理可求得；

（2）如图2中，在上截取，连接，可先证明，再证明，可证得结论；

（3）连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，得到，于是得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的弧，且，求得最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．

（1）

四边形是平行四边形，

当点与点重合时，

在中，

中，.

（2）证明：如图2中，在上截取，连接，

，，

，

在和中，，

，

，，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

；

解：连接并延长到，使，连接，取的中点，连接，作AK⊥BC，交BC延长线于点K，作QP⊥AD，交AD延长线于点P．

，

点的轨迹是以为圆心，以为半径的弧，且，

根据△ABD为等腰直角三角形，可得AD=,

∴AO=，

根据△ABK为等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，

∴PQ=8，

∵BK=4,BN=1，

∴KN=5，

∴KE=AP=10，

∴OP=6，

，，

最小值为6，

是的中位线，

的最小值为3．