Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E；⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由平行线得出△ADO∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．

解答：证明（1）连接OD，
∵DE⊥DB，
∴BE是⊙O的直径，
∵OD=OB，
∴∠2=∠3，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，∠1=∠3，
∴BC∥OD，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，Rt△ABC中，BC=9，CA=12
∴AB=

BC2+CA2

=15，
∵BC∥OD，
△ADO∽△ACB，
∴

AO

AB

=

OD

BC

，

15-r

15

=

r

9

，
解得r=

45

8

．

点评：本题考查了切线的判定和相似三角形的判定以及性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．