题目内容
如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点．DF⊥AE于F（1）求证：ABE∽△DFA；
（2）求AF、DF的长；
（3）求S四边形CDFE．
分析：（1）已经有一对直角相等，只需再找一对锐角对应相等即可，由AD∥BC得∠DAF=∠AEB，问题得证；
（2）先利用勾股定理求出AE，再根据△ABE∽△DFA得比例线段，然后求解；
（3）四边形CDFE的面积=正方形面积-两个直角三角形面积．
（2）先利用勾股定理求出AE，再根据△ABE∽△DFA得比例线段，然后求解；
（3）四边形CDFE的面积=正方形面积-两个直角三角形面积．
解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵AB=4，E是BC的中点，
∴AE=
=2
，
∵△ABE∽△DFA，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴DF=
，AF=
；
（3）解：S四边形CDFE=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF=42-
×4×2-
×
×
=16-4-3.2
=8.8．
∴∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵AB=4，E是BC的中点，
∴AE=
| 42+22 |
| 5 |
∵△ABE∽△DFA，
∴
| AB |
| DF |
| BE |
| FA |
| AE |
| AD |
∴
| 4 |
| DF |
| 2 |
| FA |
2
| ||
| 4 |
∴DF=
| 8 |
| 5 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
（3）解：S四边形CDFE=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF=42-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
| 5 |
4
| ||
| 5 |
=16-4-3.2
=8.8．
点评：此题重点考查相似三角形的判定和性质，涉及分割法求图形的面积问题，有一定的综合性，难度中等．
练习册系列答案
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