Question

在Rt△ABC中，点D为斜边AB的中点，P为AC边一动点，△BDP沿着PD所在的直线对折，点B的对应点为E．

（1）若BC=5，AC=12，PD⊥AB，求AP的长；

（2）当AD=PE时，求证：四边形BDEP为菱形；

（3）若BC=5，∠A=30°，P点从C点运动到A点，在这个过程中，求E点所经过的路径长．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理证明△ADP∽△ACB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；

（2）根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；

（3）根据等边三角形的性质和平角的定义求出P点从C点运动到A点E点运动的圆心角，根据弧长公式计算即可．

【解答】（1）解：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，

∴AB==13，

∵PD⊥AB，∠C=90°，

∴△ADP∽△ACB，

∴=，即=，

解得，AP=；

（2）证明：由翻折变换的性质可知，PB=PE，DB=DE，

∵AD=PE，BD=AD，

∴BP=PE=ED=DB，

∴四边形BDEP为菱形；

（3）∵BC=5，∠A=30°，

∴AB=2BC=10，

∴DE=BD=AB=5，

当P点与C点重合时，△BPD是等边三角形，

∴∠BDP=60°，

∴∠EDP=60°，

∴∠EDA=60°，

当P点与A点重合时，∠EDA=180°，

∴P点从C点运动到A点E点运动的圆心角为60°+180°=240°，

=，

∴E点所经过的路径长为．

【点评】本题考查的是菱形的判定、弧长的计算、翻折变换的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、弧长的计算公式是解题的关键．