Question

（1）如图①所示，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的。

（2）如图②中所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

Answer 1

证明：（1）连结OA、OC， ∵点O是等边三角形ABC的外心 ∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OCA S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC， ∴； （2）如图2，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G， 作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H、K， 在四边形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°， ∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°即∠1+∠2=120°， 又∵∠GOF=∠2+∠3=120°， ∴∠1=∠3， ∵AC=BC， ∴OH=OK， ∴△OFH≌△OGK， ∴S四边形OFCG=S四边形OHCK=S△ABC。