题目内容
在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
（1）PC=2
；（2）①∠PEF的大小不变．②
【解析】
试题分析：（1）先根据勾股定理求得PB的长，再利用互余关系证得△APB∽△DCP，最后根据相似三角形的性质及即可求得结果；
（2）①过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比
，再利用锐角三角函数的定义求值；
②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．
（1）在矩形ABCD中，
，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=，
．
∵
，
∴
．
∴
．
∴ △ABP∽△DPC．
∴
，即
．
∴PC=2；
（2）①∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形
∴
∴GF=AB=2，
∵
∴
∴
∴ △APE∽△GFP
∴
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=
即tan∠PEF的值不变
∴∠PEF的大小不变．
②如图所示：
设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=
EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为
考点：相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形
点评：解答本题的关键是熟记相似三角形的对应边成比例，注意对应字母写在对应位置上.
1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=
14、如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，若AB=3，BC=5，则四边形DFEC的面积是（ ）
如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内，若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，四边形AEPH的面积为5，求四边形PFCG的面积．
（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．