Question

如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若sin∠F=，AE=4，求⊙O的半径和AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BOD=∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切线；

（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=，AE=4，
∴AF==12．
设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，
∴OF=3OD=3R．
∵OF+OA=AF，
∴3R+R=12，∴R=3．
连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠E=90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE=AB：AF，
∴AC：4=2R：4R，
∴AC=2．
故⊙O的半径为3，AC的长为2．
分析：（1）连接OD，根据圆周角定理，可得∠BOD=∠A，则OD∥AC，从而得出∠ODF=90°，即EF是⊙O的切线；
（2）先解直角△AEF，由sin∠F=，得出AF=3AE=12，再在直角△ODF中，由sin∠F=，得出OF=3OD，设⊙O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出⊙O的半径；连接BC，证明BC∥EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，难度中等，综合性较强．