Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，顶点坐标为（1，﹣4）

（1）求二次函数解析式；

（2）该二次函数图象上是否存在点M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2存在，点M的坐标为（1+，3），（1﹣，3）或（2，﹣3）

【解析】

（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)，可以求得a、b的值，从而可以得到该函数的解析式；

（2）根据(1)中求得的函数解析式可以得到点C的坐标，再根据S△MAB＝S△CAB，即可得到点M的纵坐标的绝对值等于点C的纵坐标的绝对值，从而可以求得点M的坐标．

解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为(1，﹣4)，

∴，得，

∴该函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）该二次函数图象上存在点M，使S△MAB＝S△CAB，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣3)(x+1)，

∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，

∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，

∴点A的坐标为(﹣1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,﹣3)，

∵S△MAB＝S△CAB，点M在抛物线上，

∴点M的纵坐标是3或﹣3，

当y＝3时，3＝x2﹣2x﹣3，得x1＝1+，x2＝1﹣；

当y＝﹣3时，﹣3＝x2﹣2x﹣3，得x3＝0或x4＝2；

∴点M的坐标为(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3)．

故答案为：（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，点M的坐标为(1+,3)，(1﹣,3)或(2,﹣3).