Question

【题目】若二次函数的图象的顶点在的图象上，则称为的伴随函数，如是的伴随函数．

（1）若函数是的伴随函数，求的值；

（2）已知函数是的伴随函数．

①当点（2，-2）在二次函数的图象上时，求二次函数的解析式；

②已知矩形，为原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点（6，2），当二次函数的图象与矩形有三个交点时，求此二次函数的顶点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①或；②顶点坐标是（1，3）或（4，6）．

【解析】

（1）将函数的图象的顶点坐标是(1,1)，代入即可求出t的值;

(2)①设二次函数为，根据伴随函数定义，得出代入二次函数得到：，把(2,-2)，即可得出答案；

②由①可知二次函数为，把(0,2)代入，得出h的值，进行取舍即可，把(6,2)代入得出h的值，进行取舍即可．

解：（1）函数的图象的顶点坐标是(1,1)，

把，代入，得，解得：．

（2）①设二次函数为．

二次函数是的伴随函数，，

二次函数为，

把，代入得，

，二次函数的解析式是或．

②由①可知二次函数为，

把(0,2)代入，得，

解得，

当时，二次函数的解析式是，顶点是(0,2)

由于此时与矩形有三个交点时只有两个交点

∴不符合题意，舍去

∴当时，二次函数的解析式是，顶点坐标为(1,3)．

把(6,2)代入得，

解得，，

当时，二次函数的解析式是，顶点是(9,11)

由于此时与矩形有三个交点时只有两个交点

∴不符合题意，舍去

∴当时，二次函数的解析式是，顶点坐标为(4,6)．

综上所述：顶点坐标是(1,3)或(4,6)．