Question

10．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如y=-2x+$\frac{1}{3}$和y=$\frac{1}{3}$x-2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：一次函数y=-$\frac{1}{4}$x+4与它的互助一次函数的交点坐标为（1，$\frac{15}{4}$）
（2）若两个一次函数y=（k-b）x-k-2b与y=（k-3）x+3k-$\frac{5}{2}$是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据互助函数的定义，写出互助函数，然后解两个函数的解析式组成的方程组即可求得交点坐标；
（2）首先根据互助函数的定义得到一个关于k，b的方程组求得k、b的值，即可求得两个函数的解析式，然后求出函数与y轴的交点坐标，以及两个函数的交点坐标，根据三角形的面积公式即可求解．

解答 解：（1）一次函数y=-$\frac{1}{4}$x+4的它的互助一次函数是y=4x-$\frac{1}{4}$．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}x+4}\\{y=4x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
则交点坐标是：（1，$\frac{15}{4}$）；
故答案为：（1，$\frac{15}{4}$）；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k-3=-k-2b}\\{k-b=3k-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{k=1}\end{array}\right.$，
则两个函数是y=x+0.5和y=0.5x+1．
y=x+0.5和y轴的交点是（0，0.5），y=0.5x+1和y轴的交点是（0，1）．两个函数的交点是：（1，1.5）．
在两个函数与y轴围成的三角形的面积是：$\frac{1}{2}×1.5×1=0.75$

点评 本题考查了一次函数与三角形的面积公式，正确理解互助函数的定义，正确求得两个函数的交点坐标是关键．