Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

=

2008

2009

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

．

Answer 1

分析：（1）归纳总结得到拆项规律，写出即可；
（2）两式分别利用拆项规律变形，计算即可得到结果；
（3）根据得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

；
②原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2008

-

1

2010

）=

1

2

×

502

1005

=

251

1005

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2008

2009

；②

n

n+1

点评：此题考查了分式的加减法，弄清题中的规律是解本题的关键．