Question

13．如图，在∠ABC中，∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）求BD的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H，在Rt△BCH中利用30度性质即可求出BH，再根据垂径定理可以求出BD；
（2）连接CD，求出∠BCD=120°，阴影部分的面积=扇形CBD的面积-△CBD的面积，代入公式计算即可．

解答 解：（1）如图1，作CH⊥AB于H．
∵∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-20°-130°=30°，
在Rt△BCH中，∵∠CHB=90°，∠B=30°，BC=4，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=2，BH=$\sqrt{3}$CE=2$\sqrt{3}$，
∵CH⊥BD，
∴DH=BH，
∴BD=2BH=4$\sqrt{3}$．

（2）连接CD，如图2所示：
∵BC=DC，
∴∠CDB=∠B=30°，
∴∠BCD=120°，
∴阴影部分的面积=扇形CBD的面积-△CBD的面积=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=$\frac{16}{3}π$-4$\sqrt{3}$

点评 本题考查垂径定理、直角三角形的性质、扇形面积公式以及三角形面积计算；熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．