Question

2．如图，将两块腰长相等的三角尺（△ABC和△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°）置于水平面上，直角边BC=EF=1cm，且始终紧贴在水平直线l上．
（1）在图①中，当边DF与边AC重合时，AB与AE的大小关系是相等；
（2）将三角板ABC以1cm/s的速度从图①的位置沿直线l向右平移，设平移的时间为t（s），如图②所示，当0＜t＜1时，DE分别交AC、AB于点G、H，DF分别交AB、BG于点P、Q．连接BG、AE．
①求证：BG=AE；
②在平移过程中，是否存在某时刻t，使得以点D、G、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
②当∠D=45°，分三种情况讨论解答即可．

解答 解：（1）在△ACB与△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{∠ACB=∠DFE}\\{BC=FE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DFE（SAS），
∴AB=DE，
∴AB=AE；
故答案为：相等；
（2）①证明：
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DF=EF，∠ACB=∠DFE=90°，
∴∠DEF=∠D=45°，
∴△GCE是等腰直角三角形，
同理可证△BEP是等腰直角三角形，
∴CG=CE，
∵∠ACB=∠ACE=90°，
在△BCG与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCG=∠ACE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△ACE（SAS）．
∴BG=AE，
②存在．

∵∠D=45°，可分三种情况讨论：
（i）当∠DGB=∠D=45°时，
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE，
∴∠GBE=0°，即t=1，
∵平移时间0＜tt＜1，
∴当∠DGB=∠D=45°时，不符合题意，
（ii）同理可证，当∠DQG=∠D=45°时，不符合题意，
（iii）当∠DGB=∠DQG时，
∵∠DGB=∠DEB+∠GBE=45°+∠GBE，
∠DQG=∠BPQ+∠PBQ=45°+∠PBQ，
∴∠GBE=∠PBQ，
由已知易得∠BHE=∠ACB=90°，
∴GH=GC，
当平移时间为ts时，CF=tcm，
∴CE=CG=GH=（1-t）cm，AG=1-（1-t）=tcm，
∵BC=AC=1cm，
∴$AB=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
∵${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}AB•GH=\frac{1}{2}AG•BC$，
∴$\sqrt{2}（1-t）=t$，解得 t=2-$\sqrt{2}$（s）．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据全等三角形的判定和性质解答，考察的知识点比较多，难度较大，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．