Question

【题目】如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：；；；，其中正确的有__________（填序号）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误．

解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故③正确．
作GM⊥AB于M．如图所示：
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，
故答案为：①②③．