Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线；

（2）当BC＝8，AC＝12时，求EM的长；

（3）在（2）的条件下，可求出⊙O的半径为　 　，线段BG的长　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3，2.

【解析】

（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，由相似三角形的性质，可求出圆的半径，在直角三角形AEB中根据勾股定理可求出AE的长，再由平行线分线段成比例定理即可求出EM 的长；

（3）由（2）可知圆的半径为3，过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH，根据∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE＝OM＝3和BH＝1，证得结论BG＝2BH＝2．

（1）证明：连接OM．

∵AC＝AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝4，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠CBM，

∴∠OMB＝∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为R，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴ ，

∵AC＝AB＝12，

即 ，

解得R＝3，

∴⊙O的半径为3，

∵OM∥BE，

∴AM：EM＝AO：BO，

∵BE＝4，AB＝12，

∴AE＝

即 ．

解得：EM＝2 ；

（3）由（2）可知圆的半径为3，

过点O作OH⊥BG于点H，则BG＝2BH，

∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝1，

∴BG＝2BH＝2．

故答案为：3，2．