Question

【题目】（感知）小亮遇到了这样一道题：已知如图在中，在上，在的延长上，交于点，且，求证:.

小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题.（不需要证明）

（探究）如图③，在四边形中，，为边的中点，与的延长线交于点，试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论.

（应用）如图③，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若＝1，＝，∠＝90°，则的长为 .

Answer 1

【答案】探究：；应用：.

【解析】

探究：分别延长DC、AE，交于点G，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB＝CG，由∠BAE＝∠EAF，等量代换可证∠CGE＝∠EAF，进而得到AF＝GF，即可得出结论；

应用：分别延长FB、GE，交于点H，根据已知条件可以得到△AEG≌△BEH，由此得到AG=BH，GE=HE，然后利用三线合一的性质得到FG＝FH，即可求出GF.

解：探究：AB＝AF＋CF；

证明：如图，分别延长DC、AE，交于点G，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠CGE，∠ABE＝∠GCE，

∵BE=CE，

∴△ABE≌△GCE，

∴AB＝CG，

又∵∠BAE＝∠EAF，

∴∠CGE＝∠EAF，

∴AF＝GF，

∴AB＝CG＝GF＋CF＝AF＋CF；

应用：如图，分别延长FB、GE，交于点H，

∵∠A＝∠EBH＝90°，∠GEA＝∠HEB，AE＝BE，

∴△AEG≌△BEH，

∴AG=BH，GE=HE，

又∵∠GEF＝90°，即FE⊥GH，

∴FG＝FH，

∵FH＝BF+BH＝BF+AG＝，

∴GF＝.