Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△.

（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；

（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥

交边于点E，联结BE.

① 当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；

② 当时，求AD的长.

      

Answer 1

（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．           ………………………1分

由旋转可知：，，

∴△为等边三角形．……………2分

∴＝． ……………3分

（2）① 当时，点D在AB边上（如图）.

∵ DE∥，     ∴ .

     由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.

∴   ∴ .

∴ △CAD∽△CBE.                 ………………………………………………6分

∴.∵∠A=30°  ∴.

∴（0﹤﹤2）            ………………………………………………8分

②当时，点D在AB边上

AD=x，，∠DBE=90°.

此时，.

     当S =时，.整理，得 .

解得 ，即AD=1.          ………………………………………………10分

当时，点D在AB的延长线上（如图）.

     仍设AD=x，则，∠DBE=90°.

     .

     当S =时，.

     整理，得 .

解得 ，（负值，舍去）.

     即.                    ………………………………………………12分

 综上所述：AD=1或.