Question

13．如图所示，两圆O₁，O₂相交于PQ两点，过P点有两条直线AB、CD，直线AB分别与两圆O₁，O₂交于点A、B（A、B在P点两侧），直线CD分别与两圆O₁，O₂交于点C、D（C、D在P点两侧），直线AC与BD交于点E．
（1）证明：∠AQC=∠BQD；
（2）若∠AQB=120°，求∠E．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得出：∠AQC=∠APC，∠BPD=∠DQB，进而求出答案；
（2）利用三角形的外角以及圆内接四边形的性质得出∠ACP+∠E+∠PQB=180°，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵∠AQC=∠APC，∠BPD=∠DQB，
∠APC=∠BPD，
∴∠AQC=∠BQD；

（2）解：∵∠ACP=∠AQP，∠AQB=120°，
∴∠ACP+∠PQB=120°，
∵∠ACP+∠E=∠CDB，
∠CDB+∠PQB=180°，
∴∠ACP+∠E+∠PQB=180°，
∴∠AQP+∠E+∠PQB=180°，
则∠E+∠AQB=180°，
故∠E=180°-∠AQB=180°-120°=60°．

点评 此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理以及三角形的外角等知识，熟练应用圆周角定理是解题关键．