Question

11．已知，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，过点D的直线EF与⊙O相切，分别交BA，BC的延长线于点E，F，BF⊥EF
（I）如图①，若∠ABC=50°，求∠DBC的大小；
（Ⅱ）如图②，若BC=2，AB=4，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OD，BD，由EF与⊙O相切，得到OD⊥EF，由于BF⊥EF，得到OD∥BF，得到∠AOD=∠B=50°，由外角的性质得到结果；
（2）如图2，连接AC，OD，根据AB为⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由直角三角形的性质得到∠CAB=30°，于是AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，AH=AO•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，根据三角形的中位线的性质解得结果．

解答 解（1）如图1，连接OD，BD，
∵EF与⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∵BF⊥EF，
∴OD∥BF，
∴∠AOD=∠B=50°，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=$\frac{1}{2}$∠AOD=25°；

（2）如图2，连接AC，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=2，AB=4，
∴∠CAB=30°，
∴AC=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠ODF=∠F=∠HCO=90°，
∴∠DHC=90°，
∴AH=AO•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵∠HAO=30°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OD，
∵AC∥EF，
∴DE=2AH=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数，平行线的性质和判定，辅助线的作法是解题的关键．