Question

在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x²-2mx+m²-9．

(1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；

(2)该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（O，-5），求此抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=MC，连结CD,PD，作PE⊥PD交x轴与点E,问是否存在这样的点E，使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(l)△=(-2m)² -4(m² -9) =4m²-4m²+36 =36 >0，所以无论

m为何值，一元二次方程x² -2mx+m²-9 =0总有两个不相

等的实数根；       

说明：指出抛物线开口向上，顶点在x轴下方，所以该 抛

物线与x轴总有两交点    （亦可）

(2) ∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与y轴交点生标为（0，-5），

    ∴-5=m²-9．解得m=t2.

    ∵抛物线y=x²-mx+m²-9与x轴交于A，B两点,点A在点B          的左侧，且0A<OB．

    ∴m=2．

    ∴抛物线的解析式为y =x²-4x-5．

 (3)假设点E存在，

    ∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP= ∠PCD.

∵ PE⊥ PD．∴∠EPM=∠PDC.

∵PE= PD．∴△EPM≌△PDC.

∴PM=DC,EM=PD.

该抛物线y=x²-4x-5的对称轴x=2，N(2，O)，A（一l，O），B(5，0)

设C(x₀ ,y₀)，则D(4-x₀，y₀),P(x₀, y₀)．(其中一l<x₀<2,y₀=x₀²-4x₀-5)

由CD= PM 得4 - 2xo=一y₀．

即4 - 2x0=一( x₀²-4x₀-5).

解得x₀=1或x₀=1l（舍去）

∴M(1，O)，C（1，一8） ∴P（1，一2）． ∴PC =6．

∴ME= PC=6． ∴E(7，O)

∴点E存在其坐标为(7，O)．