Question

8、已知|n|≤20，n是整数且能使x²+x+n能在有理数范围内分解为两个一次式的乘积．则满足条件的n的个数是

5

个．

Answer 1

分析：设x²+x+n分解为（x-a）（x+a+1），其中a为整数，所以（x-a）（x+a+1）=a²+x-a²-a，得到n=-a²-a，解不等式|a²+a|＜20，求出a的值，然后把a的值代入n=-a²-a中确定n的值．

解答：解：因为n是整数且能使x²+x+n能在有理数范围内分解为两个一次式的乘，
所以设x²+x+n=（x-a）（x+a+1），a为整数，
得到n=-a²-a，
∵|n|≤20，∴|-a²-a|≤20
解得，-5≤a≤4的整数，
分别把a=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4代入n=-a²-a得到n=20，12，6，2，0．
所以满足条件的n的个数是5个．
故答案是：5．

点评：本题考查的是一元二次方程的整数根与有理数，根据二次三项式分解为两个一次式的乘积，得到两个一次式的所有情况，然后确定n的值．