Question

已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F。
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S_△DAF、S_△BAE，求证：S_△DAF＞S_△BAE。

Answer 1

解：（1）连结OD， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， 又∵DE∥BC， ∴OD⊥BC， ∴， ∴∠BAD=∠EAD， ∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC， ∴∠BDA=∠DEA ∴∠BAD=∠EAD， ∴△ABD∽△ADE；
（2）由（1）得，即AD2=AB·AE 设在△ABE中，AE边上的高为h，则： ∴S△ABE=h·AE，且h＜AB， 由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形 ∴S△DAF=AD2， ∴S△DAF>S△BAE。