Question

已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°；点D是

BC

上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连接AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若AB=8cm，AE=6cm，求△DAF的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据切线的性质可以得到OD⊥DE，利用垂径定理以及圆周角定理可以证得：∠BAD=∠EAD，然后利用平行线的性质，即可证得∠BDA=∠DEA，利用两个角对应相等的两个三角形相似即可证得；
（2）易证：△ADF为等腰直角三角形，利用三角形的面积公式求解．

解答：（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
又∵DE∥BC，
∴OD⊥BC．
∴

BD

=

CD

∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA
∴△ABD∽△ADE；

（2）解：由（1）得

AB

AD

=

AD

AE

，即AD²=AB•AE=8×6=48
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形．
则S_△ADF=

1

2

AD²=

1

2

×48=24cm²．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质定理，正确作出辅助线是关键．