Question

已知关于x的方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为

 

．

Answer 1

分析：首先将方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，通过拆分项、完全平方式、式子相乘法因式分解转化为（x²+x+2）（x²+x+k）=0
．再通过配方法确定x²+x+2≠0，因而只能是x²+x+k=0，根据一元一次方程根与系数的关系，k=-2，从而解得两实数根．
最后求两实数根的平方和，即是结果．

解答：解：∵x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，
?（x⁴+2x³+x²）+[（2+k）x²+（2+k）x]+2k=0，
?x²（x²+2x+1）+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?x²（x+1）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x+2）（x²+x+k）=0，
∵x²+x+2=（x+

1

2

）²+

7

4

≠0，
∴只能是x²+x+k=0，
∵方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0所有实根的乘积为-2，
∴k=-2，即原方程实根的解等价于x²+x-2=0，
∴两实根是-2、1，
所有实根的平方和=（-2）²+1²=5．
故答案为：5．

点评：解决本题的关键是将高次方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0通过拆分项、完全平方式、因式分解转化成（x²+x+2）（x²+x+k）=0这一形式，且在因式分解中将整式x²+x看做一个整体．