Question

【题目】已知，在中，，点为直线上一动点(点不与点重合).以为边作正方形连接．

观察猜想：

（1）如图1，当点在线段上时，判断之间数量关系，并证明；

　　　　　

类比探究：

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；

拓展延伸：

（3）如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点分别在直线的两侧，其他条件不变；

①请直接写出三条线段之间的关系；

②若正方形的边长为、对角线相交于点，连接，求的长度．

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析；（2）；（3）①，② ．

【解析】

（1）根据SAS证明△ABD≌△ACF，由△ABD≌△ACF的性质和线段的和可得结论；

（2）同理证明△ABD≌△ACF，可得BC⊥CF，由BD=BC+CD，BD=CF，可得新的结论：；

（3）①根据图3知：DC最长，同理：△DAB≌△FAC，则BD=CF，可得BC=DC-CF；

②先根据正方形的边长求对角线DF的长，证明∠DCF=90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得OC的长．

证明:，，

四边形是正方形，

，

，

则在和中，

，

，

；

（2）证明：如图2，

在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，

∵∠ABC=45°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

在△ABD与△ACF中，

∴△ABD≌△ACF，

∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，

∵∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

∴BC⊥CF；

∵BD=BC+CD，BD=CF，

∴；

（3）①理由是：如图3，

同理得：∠DAB=∠FAC，

与（2）同理，可证△DAB≌△FAC，

∴BD=CF，

∴DC=BD+BC=CF+BC，

∴BC=DC-CF；

，

四边形是正方形，

，

在和中，

，

，

，

，

，

是直角三角形.

正方形的边长为

且对角线相交于点

为中点.