题目内容
如图，抛物线y=ax2-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB=45°？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N，问是否存在M、N使四边形ACMN为等腰梯形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据抛物线y=ax2-4ax+b交x轴于A（1，0），交y轴于C（0，3），直接求出即可；
（2）利用三角形对应角之间的关系得出；
（3）根据等腰梯形的性质得出∠CME=∠ANF，进而求出CM的长，以及M，N点的坐标．
（2）利用三角形对应角之间的关系得出；
（3）根据等腰梯形的性质得出∠CME=∠ANF，进而求出CM的长，以及M，N点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x2-4x+3；
（2）解法一：利用余弦定理（超纲，可以尝试解答．）
设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=
，
∴PC=
，PB=
，
BC=3
，
cos∠PCB=
=
，
解得m=
或m=2，即n=
或n=-1，
P1(
，
)、P2（2，-1）；
解法二：利用三角形相似
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
P点有两种情况，一种是在于BC的上方的抛物线上，另一种是在BC下方的抛物线上．
①设CP交x轴于点D，当点D在BC上方时，在OC上取点E，使OE=OA=1，
∵△OEA为等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
∴∠CEA=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBD=∠CEA=135°，
∵∠ECA=∠BCD，
∴△ECA∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
∴BD=3，
∴点D为（6，0），
∴过C，D所在直线的解析式为：y=-
x+3，
∵直线与抛物线交于P点，设为P（m，n）
∴
，
∴m=
，n=
，
∴P点的坐标为（
，
）．
②设CP′交x轴于点D′，当点D′在BC下方时，在y轴负半轴上取点F，使OF=OA=1，
∵△OFA为等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°，
∴∠CFA=∠CBD′
∵∠OCA=∠PCB，
∴△FCA∽△BCD′，
∴
=
，
∴
=
，
∴BD′=
，
∴点D′为（
，0），
∴过C，D′所在直线的解析式为：y=-2x+3，
∵直线与抛物线交于P′点，设为P′（m′，n′），
∴
，
∴P′点的坐标为（2，-1）．
综上两种情况，P点的坐标为（
，
）、（2，-1）．
（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x2-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：
，
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：
+k-
，
∴AQ=
-1=
，
QN=
+k-
，
∵MC=AN，
∴MC2=AQ2+QN2，
∴k2=（
）2+（
+k-
）2，
解得：k=
，
∴OM=
+3=
，
=
，
+k-
=-
，
故此时：M(0，
)；N(
，-
)．
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x2-4x+3；
（2）解法一：利用余弦定理（超纲，可以尝试解答．）
设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=
3
| ||
| 10 |
∴PC=
| m2+(n-3)2 |
| (m-3)2+n2 |
BC=3
| 2 |
cos∠PCB=
| BC2+PC2-BP2 |
| 2PC•BC |
3
| ||
| 10 |
解得m=
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
P1(
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
解法二：利用三角形相似
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
P点有两种情况，一种是在于BC的上方的抛物线上，另一种是在BC下方的抛物线上．
①设CP交x轴于点D，当点D在BC上方时，在OC上取点E，使OE=OA=1，
∵△OEA为等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
∴∠CEA=135°，
∵∠CBA=45°，
∴∠CBD=∠CEA=135°，
∵∠ECA=∠BCD，
∴△ECA∽△BCD，
∴
| EC |
| EA |
| BC |
| BD |
∴
| 3-1 | ||
|
3
| ||
| BD |
∴BD=3，
∴点D为（6，0），
∴过C，D所在直线的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
∵直线与抛物线交于P点，设为P（m，n）
∴
|
∴m=
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
∴P点的坐标为（
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
②设CP′交x轴于点D′，当点D′在BC下方时，在y轴负半轴上取点F，使OF=OA=1，
∵△OFA为等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°，
∴∠CFA=∠CBD′
∵∠OCA=∠PCB，
∴△FCA∽△BCD′，
∴
| CF |
| FA |
| CB |
| BD′ |
∴
| 3+1 | ||
|
3
| ||
| BD′ |
∴BD′=
| 3 |
| 2 |
∴点D′为（
| 3 |
| 2 |
∴过C，D′所在直线的解析式为：y=-2x+3，
∵直线与抛物线交于P′点，设为P′（m′，n′），
∴
|
∴P′点的坐标为（2，-1）．
综上两种情况，P点的坐标为（
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x2-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：
1+
| ||
| 2 |
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1+4k |
∴AQ=
1+
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
QN=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1+4k |
∵MC=AN，
∴MC2=AQ2+QN2，
∴k2=（
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1+4k |
解得：k=
| 10 |
| 9 |
∴OM=
| 10 |
| 9 |
| 37 |
| 9 |
1+
| ||
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1+4k |
| 8 |
| 9 |
故此时：M(0，
| 37 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及等腰梯形的性质，题目综合性较强，难度较大，需细心分析得出．
练习册系列答案
相关题目
两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？
O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
此抛物线上，矩形面积为12，
与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．